Die Mathematik der Gesellschaftsspiele – Eine Beobachtung

Die Mathematik der Gesellschaftsspiele – Eine Beobachtung

22. August 2020 0 Von schmuel

Wir alle kennen Gesellschaftsspiele, sie sind von Kind auf stete Begleiter von Zusammenkünften jeglicher Art geworden. Je nachdem, ob man sich auch später zu den Liebhabern dieses wunderbaren Zeitvertreibes zählt, lernt man im Laufe der Zeit immer mehr und komplexere Spielmechaniken kennen. Doch was zeichnet ein gutes Spiel eigentlich aus?

Der folgende Beitrag ist das Resultat verschiedener Beobachtungen, er ist mehr ein Essay als ein Aufsatz und er ruht hauptsächlich in meiner eigenen Empfindung. Über Geschmäcker lässt sich bekanntlich gut streiten, vor allem auch deshalb, weil sich gerade dort eine Diversität bildet, wo die Definitionen verschwimmen. Ich möchte nicht versuchen, eine Ordnung in all das Chaos der Meinungen zu bringen, vielmehr ist es mein Anliegen, die eigene Position und die eigene Einschätzung einmal geordnet zusammenzufassen. Aber gerade weil Meinungen – wohl auch aus nostalgischen und ideellen Gründen – hier stark auseinanderweichen, bin ich mir im Klaren darüber, dass andere Ansichten – wenn auch schwer verständlich – mindestens legitim sein müssen.

Ich gehe davon aus, dass es gute Spiele und weniger gute (im folgenden als “schlechte Spiele” bezeichnet) Spiele gibt und dass sich ein gutes Spiel dadurch auszeichnet, dass es den Spielern Spielspaß bereiten kann. Meine These besteht darin, dass Spiele besonders dann einen großen Spielspaß bereiten, wenn sie vom Spieler viel Eigenleistung fordern und lediglich eine geringe oder zumindest eine berechenbare Zufallskomponente bieten. Zudem gibt es aus der tiefe meines Logiker-Herzens einen Pluspunkt, durch den ein gutes Spiel zu einem sehr guten Spiel wird. Dieser Pluspunkt wird vergeben, wenn ein Spiel terminiert. – Also wenn das Ende eines Spieles nicht vom Zufall bestimmt wird.

Schlechte Spiele: Wer besser würfeln kann

Als Beispiel für ein solches schlechte Spiel soll mir der klassische Würfelwurf dienen: Der Spielaufbau ist so simpel wie bekannt – jeder Spieler würfelt ein mal; wer die höchste Zahl gewürfelt hat, hat gewonnen. Ich werte dieses Spiel deshalb als schlecht, weil es dem Spieler keine tatsächliche Möglichkeit bietet, das Spielgeschehen zu beeinflussen. Denkaufgaben und Interaktionen mit anderen Spielern bleiben aus. Zudem ist der Ausgang des Spieles vom Zufall abhängig und es kann durchaus passieren, dass zwei Personen beispielsweise eine fünf Würfeln und auch im Stechen jeweils immer fünfen. – Die Wahrscheinlichkeit ist gering – allerdings nicht ausgeschlossen. Deshalb handelt es sich hierbei um ein schlechtes Spiel, das nicht terminiert.

Photograph by Rama, Wikimedia Commons, CC BY-SA 2.0 fr

Es stellt sich heraus, dass es eine ganze Reihe von Spielen gibt, deren Aufbau derart simpel sind und die keine wirkliche Möglichkeit bieten, mit den Spielern oder dem Spiel zu interagieren. Ein klassisches Beispiel dafür ist das Leiterspiel (Snakes an Ladders) und deren Ableger. Der Spielaufbau ist relativ simpel: Jeder Spieler hat eine Figut, man kann sich nicht gegenseitig rauswerfen und wer als Erstes im Ziel ist, hat gewonnen. Mit anderen Worten: man würfelt um die Wette. Auch hier gibt es keinerlei Möglichkeiten, mit seinen Mitspielern zu interagieren, man kann nur Würfeln und abwarten was passiert. Auch Das Leiterspiel terminiert nicht, denn es besteht die Möglichkeit, dass sich beispielsweise alle Spieler in einer Endlosschleife aus rauf und runter befinden – oder dass es keinem Spieler gelingt zielgenau das letzte Feld zu erreichen. Es handelt sich hierbei also auch um ein schlechtes Spiel

Die Liste dieser Spiele könnte mit Leichtigkeit fortgeführt werden, einige Leser erhoffen sich vielleicht einen weiteren Seitenhieb gegen “Schwarzes Loch” oder andere Würfelwettbewerbe, aber ich glaube, dass der Kritikpunkt bereits ausgemalt ist und ich möchte meine Kapazitäten nutzen um weniger Schlechte und vielleicht auch einige gute Spiele vorstellen zu können.

Weniger schlechte Spiele: Wer besser rechnen kann

Nachdem ich beleuchtet habe, welche Spiele ein geringes spielerisches Potenzial aufweisen, kann man sich natürlich fragen, wie man solche Spiele verbessern kann. Die Lösung liegt auf der Hand: der Spieler muss mehr interaktionsmöglichkeiten erhalten. Bereits kleine Veränderungen können hierbei den Spielspaß massiv erhöhen. Nehmen wir beispielsweise das Würfelspiel vom Anfang. Eine leichte Variation des Spielablaufes könnte wie folgt aussehen:

  • Jeder Spieler würfelt
  • Nach jedem Wurf kann der Spieler sich entscheiden, ob er erneut würfeln möchte, oder ob er die gewürfelten Punkte behält.
  • Wenn der Folgewurf gleich oder höher war als der vorhergehende, werden die Punkte addiert – andernfalls wird der Wurf mit 0 gewertet und der nächste Spieler ist am Zug
  • Gewonnen hat, wer nach der Runde oder einer festgelegten Rundenanzahl die meisten Punkte zu verzeichnen hat

Prinzipiell ist dieses Spiel auch nicht unbedingt hochgradig komplex, aber es hebt den Spieler aus seiner Beobachterrolle in die Position eines Entscheidungsträgers. Anstatt zu würfeln und sich zu freuen oder zuzusehen, wie infolge dessen Figuren bewegt werden, hat er eine Verantwortung zu tragen.

Freilich lässt sich dieses Spiel mathematisch lösen: Die Wahrscheinlichkeit für jede Würfelzahl bleibt 1:6. Wer eine eins Würfelt, der sollte definitiv erneut würfeln, denn seine Chance liegt bei 100% wieder eine eins oder etwas höheres zu würfeln. Wer eine sechs Würfelt, muss sich gut überlegen ob er die 16,66%ige Wahrscheinlichkeit auf sich nimmt und noch einen Wurf wagt.

Das Spiel wird durch diese Variation nicht gut – aber es wird dadurch initial überhaupt zu einem Spiel. Gewiss sind diejenigen besser dran, die sich mit den gesetzen der Stochastik auseinandersetzen und mit ihrem Risiko verantwortungsvoller umgehen, jedoch lässt sich bis zu einem gewissen Grad durchaus sagen, dass derjenige, der geschickter Spielt, auf lange Zeit größeren Erfolg haben wird, als jemand, dem die Wahrscheinlichkeitsrechnung unbekannt ist.

Eine Variation für das Leiterspiel wäre etwa, dass jeder Spieler mit zwei Figuren startet, oder dass man ebenfalls die Möglichkeit hat, wahlweise zweimal zu würfeln, beim Zweitwurf allerdings Rückschritte um die Hälfte der Würfelpunkte zu machen hat, wenn diese Anzahl gerade ist. Im Grunde ist jede Variation ein zugewinn für dieses Spiel, sofern es dem Spieler Interaktionsmöglichkeiten gibt und die Verantwortung, über sein Handeln nachzudenken.

© Imaginis – Fotolia.com

Es gibt natürlich auch Spiele, die Entscheidungsfreiheiten bieten, ohne dabei zwangsläufig eine Variation des oben genannten Glücksspieles zu sein. Ein Beispiel dafür ist das bekannte Kartenlegespiel, bei dem ein 32-Karten Deck geordnet wird und derjenige verliert, der als letztes noch Karten auf der Hand hat. Dieses Spiel ist bis zu einem gewissen Maß mathematisch lösbar und unter der Annahme, dass nicht alle Mitspieler die gleiche stochastischen Kenntnisse mitbringen lässt sich über diese Lösung ebenfalls ein Vorteil erhaschen. Der Ablauf des Spieles für 4 Personen sieht folgendermaßen aus:

  • Jeder Spieler erhält 8 Karten.
  • Jede Farbe ist aufsteigend sortiert nach folgenden Werten: 7-8-9-10-B-D-K-A
  • Eine Karte kann ausgespielt werden, wenn sie der folge- oder Vorgängerwert einer bereits ausgespielten Karte der gleichen Farbe hat.
  • Die erste ausspielbare Karte einer jeden Farbe ist die 10
  • Wer keine Karte legen kann, setzt eine Runde aus


Dieses Spiel terminiert, weil alle Karten unter den Spielern verteilt sind und es lediglich eine Frage der Zeit ist, bis alle Karten ausgespielt worden sind. Am Ende des Spieles gibt es entsprechend je Farbe eine von 7 bis Ass aufsteigend sortierten Reihe. Die strategischen Möglichkeiten sind hier ebenfalls marginal, weil es im Grunde pro Spielzug nur wenige mathematisch korrekte Züge geben kann. Taktisch sinnvolle Vorgehen hierbei sind logischerweise:

  • Spiele nach Möglichkeit eine Karte nicht, wenn du alle oder viele Folgekarten auf der Hand hast
  • Halte nach Möglichkeit die niedrigen Karten, im Besonderen die 10, zurück, sofern du der gleichen Farbe nicht auch hohe Karten hast.
  • Hast du wiederum von einer Farbe lediglich eine mittlere und eine Randkarte, versuche die mittlere so schnell wie möglich auszuspielen.

Selbstverständlich ist trotz dieser Taktik bei diesem und allen anderen Spielen dieser Kategorie das Glück ein wesentlicher und entscheidender Faktor. Eine Hand mit vier Zehnen und vier Neunen ist selbstverständlich um ein wesentliches besser als eine Hand mit vier Ässern und vier Siebenen. Das Kartenglück oder Kartenpech lässt sich durch die Strategie und Taktik nicht kompensieren, es handelt sich deshalb um ein schlechtes Spiel

Das Problem mit den weniger schlechten Spielen ist, dass sie dadurch wieder zu einem reinen Zufallsspiel werden, wenn alle Parteien die mathematisch logische Strategie hinter dem Spiel verstanden haben. Ein einfaches Beispiel um dies zu illustrieren ist der Klassiker Tic-Tac-Toe:

{\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}\,\,&\!\color {green}\times \!&\,\,\\\hline \,\,&\,\,&\,\,\\\hline \,\,&\,\,&\,\,\\\end{array}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\,\,&\!\times \!&\,\,\\\hline \,\,&\!\color {green}\circ \!&\,\,\\\hline \,\,&\,\,&\,\,\\\end{array}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\,\,&\!\times \!&\!\color {green}\times \!\\\hline \,\,&\!\circ \!&\,\,\\\hline \,\,&\,\,&\,\,\\\end{array}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\!\color {green}\circ \!&\!\times \!&\!\times \!\\\hline \,\,&\!\circ \!&\,\,\\\hline \,\,&\,\,&\,\,\\\end{array}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\!\circ \!&\!\times \!&\!\times \!\\\hline \,\,&\!\circ \!&\,\,\\\hline \,\,&\,\,&\!\color {green}\times \!\\\end{array}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\!\circ \!&\!\times \!&\!\times \!\\\hline \,\,&\!\circ \!&\!\color {green}\circ \!\\\hline \,\,&\,\,&\!\times \!\\\end{array}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\!\circ \!&\!\times \!&\!\times \!\\\hline \!\color {green}\times \!&\!\circ \!&\!\circ \!\\\hline \,\,&\,\,&\!\times \!\\\end{array}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\!\circ \!&\!\times \!&\!\times \!\\\hline \!\times \!&\!\circ \!&\!\circ \!\\\hline \!\color {green}\circ \!&\,\,&\!\times \!\\\end{array}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\!\circ \!&\!\times \!&\!\times \!\\\hline \!\times \!&\!\circ \!&\!\circ \!\\\hline \!\circ \!&\!\color {green}\times \!&\!\times \!\\\end{array}}}

Wenn beide Spieler beim Tic-Tac-Toe fehlerfrei spielen, dann geht das Spiel immer unentschieden aus. Dieses Phänomen wird jeder von uns wahrscheinlich schon im Grundschulalter einmal beobachtet haben können, sobald man die Lösungsstrategie des Spieles durchblickt hat.

Variationsreiche Spiele: Gute und schlechte Spielvariationen

Nach dem gleichen Schema, durch welches ich die schlechte Spiele in weniger schlechte Spiele verwandelt habe, erlaube ich mir nun darüber zu urteilen, welche Variation eines Spieles die beste ist. Ein beliebtes und bekanntes Beispiel für ein Spiel mit verschiedenen Spielarten ist Mensch ärgere dich nicht. Hierfür gibt es zahlreiche Variationen und Spielarten, die teilweise neue Grundregeln erstellen, teilweise Grundregeln auch aufheben. Die originalen Spielregeln für Mensch ärgere dich nicht sehen folgenden Ablauf vor:

  • Jeder Spieler würfelt einmal
  • Wer eine Sechs würfelt, darf erneut würfeln.
  • Durch den Wurf der Zahl 6 wird eine Position aus der Startposition auf das Startfeld gerückt.
  • Befinden sich noch weitere Figuren auf der Startposition, muss das Startfeld anschließend freigeräumt werden.
  • Eine Figur, die sich auf den Spielfeldern befindet, wird um die Anzahl der Würfelaugen bewegt, das Aufteilen der Würfelaugen auf mehrere Figuren ist nicht zulässig
  • Trifft eine Spielfigur genau eine gegnerische Spielfigur, wird selbige wieder auf die Startposition bewegt.
  • Gewonnen hat, wer alle eigenen Figuren auf die Zielfelder bewegt.

Dieser Spielablauf ist – obwohl er nicht terminiert – schon relativ gut. Vier Spielfiguren die unterschiedlich bewegt werden können, bieten schon wesentlich mehr Möglichkeiten, zu arbeiten. Zudem genießt man sogar Freiheiten darüber, mit anderen Spielern eine tatsächliche Interaktion einzugehen, beispielsweise indem man – wohl gemerkt Regelkonform – einen Nichtangriffspakt beschließt und einen Mitspieler nach möglichkeit nicht schlägt. Es gibt also erste ansätze von Diplomatie, wie man sie sonst nur in höherwertigeren Spielen vorfinden kann.

Dieser Funken der Diplomatie wird allerdings, wie ich mit bedauern feststellen muss, sehr oft von der sogenannten “Schlagzwang” Regel torpediert, wodurch dem Spieler auch hier jede Entscheidungsgewalt genommen wird. Es minimiert sogar die Bewegungsfreiheiten und Zielorientierung der eigenen Figuren und lässt mitunter den Spieler wieder zu einer Art Zuschauer werden, weil Interaktionsmöglichkeiten Ausgehebelt werden, wie das folgende Beispiel zeigt.

Grün ist am Zug

Dieses durchaus fiktive aber nicht unplausible Beispiel zeigt eine hochgradig brisante Spielsituation: Besteht kein Zugzwang, muss Grün nun abwägen ob er entweder verhindern möchte, dass Gelb im nächsten Zug sein Ziel erreicht (mit einer Wahrscheinlichkeit von 66%) oder ob er verhindern möchte, dass seine eigene grüne Spielfigur durch Blau geschlagen wird (mit einer Wahrscheinlichkeit von 50%)

Entscheidet er sich für die zweite Option, liegt seine Chance mit der Figur im nächsten Zug an sein Ziel zu kommen allerdings nur noch bei 33%, es wäre deshalb ratsam, seine eigene Figur ins Ziel zu bringen, anstatt die gegnerische Figur zu schlagen. Diese Einschätzung kann natürlich auch im Falle einer anderen Spielsituation falsch sein. Das Denken wird aber dadurch erübrigt, wenn ein sogenannter Schlagzwang besteht. Unabhängig davon, ob ein Schlagzwang nun zugunsten oder zuungunsten des Spielers ist: Es nimmt ihm überhaupt die Möglichkeit, über solche Züge nachzudenken.

Zwangssituationen als Spielelemente wirken sich zumeist negativ auf die Spielerfahrung aus, weil sie dadurch das gesamte Spiel in Richtung Leiterspiel bewegen. Das konkrete Beispiel Mensch ärgere dich nicht ist noch längst kein gutes Spiel, die Abhängigkeit vom Würfelglück ist nach wie vor enorm hoch – Es ist weitaus mehr als nur fragwürdig, warum man diese Abhängigkeit vergrößern wollen sollte.

Ein wunderbares Positivbeispiel für Mensch ärgere dich nicht ist das Spiel Zoff der Zünfte, eine Variation, welche die Welt dem Autoren Ingo Althöfer zu verdanken hat. Ich habe diese Variation selbst noch nie gespielt und Zitiere deshalb aus der Wikipedia:

  • Zu Beginn hat jeder Spieler vier Burschen.
  • Wer eine Eins oder eine Zwei würfelt, darf statt eines normalen Zuges eine eigene Figur aufwerten (vom Burschen zum Gesellen oder vom Gesellen zum Meister) oder eine fremde Figur abwerten (vom Meister zum Gesellen oder vom Gesellen zum Burschen).
  • Eine geschlagene Figur wird immer zum Burschen herabgestuft.
  • Eingesetzt werden darf nicht nur bei einer Sechs, sondern auch bei einer Fünf, was das Spiel insgesamt schneller macht. Allerdings darf man nach einer Fünf nicht nochmals würfeln.
  • Burschen dürfen nur Burschen schlagen, Gesellen dürfen Burschen und Gesellen schlagen, Meister dürfen alle schlagen.

Diese Variation verspricht einen ganzen Haufen neuer Möglichkeiten und Freiheitsgrade und hebt das einfache Mensch ärgere dich nicht auf eine fast schon königliche Stufe.

Gute Spiele: Wer besser spielen kann

Gute Spiele zeichnen sich nicht nur durch ihre geringe Abhängigkeit vom Zufall aus, sondern infolgedessen auch durch ihre Erlernbarkeit. Zu meiner großen Freude gibt es unglaublich viele Spiele, die diese Kriterien erfüllen. Es geht hierbei primär um Strategie, Verhandlungsgeschick, Beobachtungsgabe und andere erlernbare und förderliche Eigenschaften, die die Spieler mit in das Spiel tragen. Gute Spiele sind zumeist komplexer als schlechte Spiele, deshalb kann ich unmöglich den gesamten Spielablauf einzelner Beispiele hier veröffentlichen

Ein glorreiches Beispiel für ein sehr gelungenes Spiel ist Siedler von Catan, bei welchem man eine Infrastruktur errichten muss, um seine Zivilisation mit Rohstoffen zu versorgen, um wiederum mehr Rohstoffe erwerben zu können. Es fordert viel Geschick, florierende Handelsbeziehungen einzugehen und andere Gegenspieler geschickt Paroli zu bieten

Auffallend ist, dass das Spektrum der Spielmechaniken der guten Spiele wesentlich vielseitiger ist als jenes der weniger guten und schlechten Spiele. Beispielsweise das ebenfalls gute Spiel Mogel Motte bzw. dessen verbesserte Form Mogelmotte. Hier spielt zwar Glück eine entscheidende Rolle, aber das Glück wird nicht durch die eigene Hand oder einen Würfel bestimmt, sondern durch das Ungeschick der Mitspieler. Zielsetzung bei diesem Spiel ist es, alle Karten abzuwerfen, wobei verschiedene Regeln existieren, die reglementieren, in welcher Form gemogelt werden darf. Ein originelles Spielkonzept, das einen Garant für Kräfteraubende und Spaßige Spielrunden bietet.

Die Bandbreite guter Spiele ist viel zu groß, als dass man sie hier abbilden könnte. Der Ideenreichtum der Autoren ist nahezu unermüdlich, neue Konzepte und neue Spielideen begegnen die offenen Augen im Grunde ständig. Die Klassiker, die lediglich geschickt ihren Würfelkern verstecken wollen, haben für meine Begriffe ausgedient, ich sehe keinen größeren Sinn dahinter, diese Spiele tatsächlich noch zu spielen.

Das perfekte Spiel: Schach

Die Regeln und Spielzüge des Schachspieles können auch Grundschüler verstehen. Das Spiel ist für viele Altersgruppen geeignet und es ist – ganz nebenbei – rein rechnerisch ein solches perfektes Spiel. Denn der Zufallsfaktor bei diesem Spiel liegt bei genau 0. Zwar gibt es eine mathematisch perfekte Lösung für das Spiel, wie verschiedene Computer inzwischen darstellen konnten, allerdings übersteigen die möglichen Spielzüge bei einer normalen Partie Schach um längen die Kapazitäten menschlicher Rechenfähigkeit.

Schach lässt sich also trainieren, es ist unabhängig vom Zufall und es terminiert immer. Es ist nur eines unter den perfekten Spielen – aber vielleicht das bekannteste.

Schlechte Spiele entlarven

Schlechte Spiele allerdings – und es ist mir wichtig, dies abschließend zu betonen – sind als solche nicht zwangsläufig komplett schlecht. Sie bieten für mich einen ganz eigenen Reiz. Wie dem Leser vielleicht schon aufgefallen mag, habe ich zwar von einigen obigen Spielen gewagt die These aufzustellen, dass sie berechenbar sind – den Beweis bzw die Berechnung habe ich allerdings noch nicht gebracht. Es ist durchaus interessant, zu ermitteln ob und wie ein Spiel terminier. Und noch viel interessanter ist es, einmal ein ganzes Spiel durchzurechnen und zu ermitteln, ob es den perfekten Spielzug gibt

Leider haben meine Spielkameraden selten ein Interesse daran, die vielen mathematisch einfältigen Spiele zu analysieren und mit mir zusammen am Taschenrechner zu tippen um die eine Lösung zu finden, den einen Algorithmus, der das Spiel immer lösen kann. Und so bleibe ich mit meinem Verlangen allein. Kein Grund allerdings, die Rechnerei sein zu lassen, besonders das Mensch ärger dich nicht und die verschiedenen Variationen wecken jüngst das Interesse in mir, mich eingehender damit zu beschäftigen.

Komme ich hierbei jemals zu einem Resultat, werde ich es hier auf diesem Blog veröffentlichen. Natürlich freue ich mich jederzeit über zielführende Kommentare oder Streitfähige Gegenpositionen zu meinen Ausführungen! Bis dahin: Gut Blatt!